Wybrane zadania z konkursów matematycznych dla uczniów gimnazjów

W zadaniach konkursowych z matematyki w gimnazjum coraz częściej pojawiają się takie, w których wymaga się od ucznia umiejętności dowodzenia różnych faktów z matematyki elementarnej. Przykładów takich zadań można znaleźć mnóstwo w literaturze.

Wybrane zadania z konkursów matematycznych dla uczniów gimnazjów
Zbigniew Stebel
Treść zadań nie jest oryginalna, ich źródłem są takie konkursy jak: Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów oraz Dolnośląskie Mecze Matematyczne.
Zadanie 1.
Istnieje nieskończenie wiele trójek (a,b,c) dodatnich liczb całkowitych, które spełniają równanie: [pic]Dowieść.
Dowód:
Oznaczmy przez n dowolną liczbę całkowitą dodatnią, spełniającą równanie: [pic]Najwyższym wykładnikiem potęgi jest w tym równaniu liczba 6. Liczby 2 i 3 są dzielnikami liczby 6, zatem ta liczba będzie wspólna dla trzech składników dodatnich. Lewa strona wynosi: [pic] i równa się prawej stronie równości. Zatem [pic] są dodatnimi rozwiązaniami całkowitymi, więc każda trójka liczb postaci [pic] spełnia równanie. Tych trójek jest nieskończenie wiele, gdyż liczb całkowitych dodatnich też jest tyle. Przykłady: (1,1,2), (4,2,16), (9,3,54),….
Zadanie 2.
Nie istnieje dodatnia liczba całkowita n, dla której liczbę [pic] można przedstawić w postaci sumy co najmniej dwóch kolejnych dodatnich liczb całkowitych. Uzasadnić.
Dowód:
Przedstawmy liczbę [pic] w postaci sumy kolejnych m- liczb naturalnych dodatnich, gdzie liczby k też są takie. Wtedy otrzymujemy:
[pic] Z rozpisania widać, że liczbę k dodawaliśmy m+1- razy, bo od 0 do m czyli [pic]Ponadto suma kolejnych liczb naturalnych [pic] wynosi [pic] Otrzymujemy (1) [pic] Rozpatrzmy dwa przypadki gdy ma jest liczbą parzystą oraz nieparzystą.
Oznaczmy przez NPAR, PAR odpowiednio zbiór liczb nieparzystych i parzystych.
[pic]Podstawiając do (1) otrzymujemy: [pic]Liczba postaci
2k+2r-1=2(k+r)-1 jest nieparzysta więc nie może być dzielnikiem liczby [pic]. Otrzymaliśmy sprzeczność.
[pic]Podstawiając do (1) otrzymujemy:[pic] Liczba postaci [pic] jest liczbą nieparzystą więc nie może być dzielnikiem liczby [pic]kolejna sprzeczność kończy dowód.
Zadanie 3.
Prosta [pic] przechodzi przez punkt [pic]wtedy i tylko wtedy, gdy b jest średnią arytmetyczną liczb a i c. Dowieść.
Dowód:
Etap pierwszy:
[pic]Załóżmy, że [pic]Pokażemy, że prosta postaci [pic] przechodzi przez punkt [pic]. Z równania prostej mamy: [pic]Podstawiając do ostatniego równania współrzędne punktu [pic] otrzymujemy: [pic][pic]zatem prosta przechodzi przez punkt [pic].
Etap 2:
[pic] Załóżmy, że prosta postaci [pic] przechodzi przez punkt [pic]. Pokażemy, że b jest średnią arytmetyczną liczb a i c.
Podstawiając współrzędne punktu [pic] do równania prostej [pic] otrzymujemy kolejno:
[pic]czyli istotnie b jest średnią arytmetyczną liczb a i c.
Zadanie 4.
Liczba 15 jest największą resztą jaką można otrzymać z dzielenia liczby dwucyfrowej przez sumę jej cyfr. Uzasadnić.
Dowód: Zapiszmy w postaci algebraicznej dzielenie dowolnej liczby dwucyfrowej ...