Dydaktyka - Zadania konkursowe z matematyki w gimnazjach

,,Zadania konkursowe z matematyki w gimnazjach'' to pomoc dydaktyczna dla uczniów szkół gimnazjalnych szczególnie interesujących sie matematyką. Znajdują się tam przykłady zadań rozwiązanych oraz do samodzielnego rozwiązania przez ucznia.

ZADANIA KONKURSOWE Z MATEMATYKI W GIMNAZJACH
Zbigniew Stebel

1. Podstawowe nierówności.
Nierówność I.
Dla dowolnych liczb rzeczywistych M i N zachodzi nierówność postaci
1) [pic]
Dowód.
Metoda 1.
Korzystając ze wzoru na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń
[pic]
otrzymujemy [pic]bo [pic] jest liczbą nieujemną.
Metoda 2.
Startując z nierówności (1) i przenosząc wyrażenie z prawej strony na lewą otrzymujemy nierówność postaci [pic]ze wzoru na kwadrat różnicy. Zatem dowód zakończony gdyż kwadrat dowolnej liczby jest liczbą nieujemną.
Nierówność II.
Dla dowolnych liczb dodatnich P i Q zachodzi nierówność postaci

(2) [pic]

Dowód.
Sprowadzając lewą stronę nierówności do wspólnego mianownika otrzymujemy nierówność równoważną postaci:
[pic]mnożąc obustronnie przez mianownik otrzymujemy
[pic], przenosząc wyrażenie z prawej strony na lewą i korzystając ze wzoru na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń otrzymujemy nierówność równoważną postaci
[pic] prawdziwą dla dowolnych P i Q więc dla P i Q dodatnich też.
Nierówność III.
Średnia geometryczna dwóch liczb dodatnich jest nie większa od średniej arytmetycznej tych liczb.

Dowód.
Chcemy pokazać, że dla dowolnych liczb dodatnich X i Y zachodzi nierówność postaci:
[pic]
Mnożąc obustronnie nierówność przez (2) otrzymujemy równoważną nierówność postaci
3) [pic]
podnosząc (3) obustronnie do kwadratu i przenosząc wyrażenie z prawej na lewą stronę otrzymujemy
[pic]stosując kolejno wzór na kwadrat sumy i różnicy dwóch wyrażeń otrzymujemy nierówność równoważną [pic] prawdziwą dla dowolnych liczb rzeczywistych więc dla dodatnich również.

2. Przykłady dowodzenia.

Niech x, y i z będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

Przykład 1.

Wykazać nierówność

[pic]

Dowód.
Lewa strona nierówności jest niemniejsza od prawej, bo
[pic]na mocy wzoru (1).
Przykład 2.
Udowodnij nierówność
(4) [pic]
Metoda 1.
Z nierówności (1) mamy
[pic][pic]
stąd po dodaniu stronami otrzymujemy
[pic]dzieląc obustronnie przez liczbę 2 otrzymujemy nierówność wyjściową.
Metoda 2.
Mnożąc obustronnie nierówność (4) przez liczbę 2 otrzymujemy
[pic]
przenosząc co się da na lewą stronę nierówności i korzystając ze wzoru na kwadrat różnicy otrzymujemy
[pic]
co kończy dowód.
Komentarz: Kwadrat dowolnej liczby jest liczbą nieujemną, a suma liczb nieujemnych też jest nieujemna.

Przykład 3.

Wykazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich p i q zachodzi nierówność

[pic]
Dowód.
[pic] na mocy na wzoru wcześniej uzasadnionego (2).
Przykład 4.
Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich p, q, r zachodzi nierówność postaci [pic] Kiedy zachodzi równość?
Dowód.

Pomnóżmy obustronnie przez mianownik prawej strony nierówności. Wówczas otrzymamy nierówność równoważną

[pic] którą mamy uzasadnić.
Badamy lewą stronę [pic]bo [pic] na mocy (2).

Przykład 5.

Korzystając z nierówności ...