Zaloguj się aby ocenić lub skomentować publikację.
Zadanie 3
Pewien chłopiec powiedział: „Mam tylu braci co sióstr”, a jego siostra
stwierdziła: „Mam trzy razy więcej braci niż sióstr”. Ilu było chłopców, a ile
dziewcząt w tej rodzinie?
Rozwiązanie
x – liczba chłopców
y – liczba dziewcząt
x
1
y
=
y
x
1
=−
y
(3
)1
⋅
−
y
x
1
+=
y
3
3
+=−
y
x
+=
y
2
4
=
x
y
+=
y
2
=
x
3
=
y
2
=
1
1
W tej rodzinie było trzech chłopców i dwie dziewczyny.
Zadanie 2
Czy istnieje taki skończony ciąg liczb całkowitych c1, c2 …..C n, że każda z
liczb a +c1,a+c2 ….,a+C n jest pierwsza dla więcej niż jednej, ale tylko dla skończenie
wielu różnych liczb całkowitych a
Rozwiązanie:
Niech n=5 oraz c1=0, c2=2, c3=8, c4=14, c5=26. Wówczas dla a=3 oraz a=5
liczby a =c1, a+c1, a+c2, …, a+c5 są pierwsze.
Liczby c1, c2, …, c5 dają różne reszty z dzielenia przez 5, co oznacza, że dla dowolnej
liczby całkowitej a liczby a+c1, a+c2, …, a+c5 też dają różne reszty z dzielenia przez
5. Zatem dla wszystkich liczb całkowitych całkowitych nie leżących w przedziale (-
21,5) któraś z liczb a+c1,a+c2, …, a +c5 jesty podzielna przez 5 i różna od 5, czyli
złożona.
Uwaga
Dla n =17 oraz
C1=0, c2=6, c3=12, c4=36, c5=42
C6=96, c7=162, c8=222, c9=252, c10=582,
C11=636, c12=642, c13=1086, c14=1176 c15=1212,
C16=5382, c17=5796
Tezę zadania spełniają trzy liczby: a=5, a=11 oraz a=17.
Zadanie 1
Wykazać, że jeżeli
są liczbami naturalnymi takimi, że
xxx
,
1
,
2
x
1
+
,...,
x
1000
x
...
1000
++
2
3
x
=
xx
21
...
x
1000
,
to co najmniej 990 spośród tych liczb jest równych 1.
Rozwiązanie
Niech
xxx
,
1
,
2
,...,
3
(i)
Załóżmy też, że
x
1000
x
1
będą liczbami naturalnymi takimi, że
+
x
2
++
...
x
1000
=
xx
21
...
x
1000
.
x
1
≤
x
2
≤
x
3
≤
...
≤
x
1
+
x
.
x
1000
...
++
2
Wtedy oczywiście:
x
1000
≤
1000
⋅
x
1000
.
Biorąc pod uwagę równość (i) mamy stąd
x
1000
x
...
x
1
...
x
x
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
2
x
1
2
≤
1000
⋅
≤
999
1000
,
x
1000
.
Wnioskujemy stąd, że co najwyżej 9 spośród liczb
102 < 1000. Zatem spośród liczb
bo
1, a tym samym co najmniej 990 z tych liczb jest równych 1.
xxx
,
1
x ...
