Zadania na dowodzenie z rozwiązaniami

ZADANIA NA DOWODZENIE Z ROZWIĄZANIAMI
GEOMETRIA
1. W trójkącie [pic] miara kąta [pic] jest dwa razy większa od miary kąta [pic]. Dwusieczna kąta [pic] dzieli trójkąt [pic] na dwa trójkąty. Uzasadnij, że jeden z otrzymanych trójkątów jest podobny do trójkąta [pic].
2. Odcinki [pic] i [pic] są wysokościami trójkąta ostrokątnego [pic], a punkt [pic] punktem ich przecięcia. Wykaż, że podobne są trójkąty: [pic] i [pic]; [pic] i [pic]; [pic] i [pic].
3. Trójkąty prostokątne równoramienne [pic] i [pic] są położone tak, jak na poniższym rysunku (w obu trójkątach kąt przy wierzchołku [pic] jest prosty). Wykaż, że [pic].
[pic]
4. Wykaż, że w trójkącie prostokątnym suma długości obu przyprostokątnych jest równa sumie długości średnic okręgów wpisanego i opisanego na tym trójkącie.
5. W trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna jest 4 razy dłuższa od drugiej. Wykaż, że wysokość opuszczona na przeciwprostokątną dzieli ją na odcinki, z których jeden jest 16 razy dłuższy od drugiego.
6. Dany jest trójkąt prostokątny. Wykaż, że suma pól kół o średnicach będących przyprostokątnymi trójkąta jest równa polu koła o średnicy równej przeciwprostokątnej.
7. Udowodnij, że jeżeli środek okręgu opisanego na trójkącie leży na jednym z jego boków, to trójkąt ten jest prostokątny.
8. Udowodnij, że przekątna [pic] kwadratu [pic] jest równa przekątnej [pic] prostokąta [pic].
[pic]
9. Dwa przeciwległe boki czworokąta wpisanego w okrąg mają równe długości. Wykaż, że czworokąt ten jest trapezem.
10. Wykaż, że jeśli przekątna trapezu równoramiennego zawiera się w dwusiecznej jego kąta ostrego, to ramię jest równe krótszej podstawie.

[pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic]
LICZBY
11. Wykaż, że nie istnieje taka liczba rzeczywista [pic], aby suma tej liczby i jej odwrotności była równa 1.
12. Wykaż, że jeżeli [pic] i [pic], to [pic].
13. Suma dwóch liczb jest równa [pic], a ich różnica jest równa [pic], gdzie [pic] i [pic] są dodatnimi liczbami całkowitymi. Wykaż, że iloczyn tych liczb jest liczbą wymierną.
14. Stosując wzory skróconego mnożenia rozłóż na czynniki wyrażenie [pic].
15. Stosując wzory skróconego mnożenia przedstaw w postaci iloczynowej wyrażenie: [pic].
16. Wykaż, że jeżeli [pic] i [pic] oraz [pic], to [pic] lub [pic].

17. Uzasadnij, że jeśli [pic], to [pic].
[pic]
18. Wykaż, że liczba [pic] jest dla dowolnej liczby naturalnej [pic] kwadratem liczby całkowitej.
19. Wiadomo, że [pic] i [pic]. Wykaż, że [pic].

20. Uzasadnij, że dla każdej liczby [pic] wyrażenie

[pic] ma stałą wartość.

21. Uzasadnij, że liczby [pic] i [pic] są liczbami przeciwnymi.

22. Wykaż, że ...