Zaloguj się aby ocenić lub skomentować publikację.
KONKURS MATEMATYCZNY
DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM
ETAP SZKOLNY
30 listopada 2012r
Czas rozwiązania zadań: 60 minut.
Wybierz 3 zadania.
W każdym zadaniu przedstaw pełny tok rozumowania, nie używaj kalkulatora.
Zadanie 1. Co jest większe: 3360 czy 6350 ? Przedstaw pełne rozwiązanie.
Zadanie 2. W pewnej szkole 257 uczniów uprawia następujące sporty: 113 uprawia tenis, 105 hokej i 112 piłkę nożną. Spośród nich 35 uprawia tenis i hokej, 15 hokej i piłkę nożną, a 30 tenis i piłkę nożną. Ilu uczniów uprawia wszystkie trzy sporty?
Zadanie 3. Znajdź wszystkie pary liczb całkowitych (x,y) spełniających równanie:
xy2 – y3 = 12
Zadanie 4. W trapezie ABCD przekątne AC i BD przecinają się w punkcie O. Uzasadnij, że pola trójkątów AOD i BOC są równe.
Zadanie 5. Wiadomo, że na niewidocznych ścianach umieszczonego poniżej sześcianu wpisane są liczby pierwsze i to takie, że sumy liczb wpisanych na przeciwległych ścianach są równe. Jakie to liczby?
18
35 14
ROZWIĄZANIA
Zadanie 1. (3pkt)
3360 < 3260 = (25)60 = 2300
6350 < 6450 = (26)50 = 2300
Więc: 3360 > 3260 = 2300 = 6450 > 6350. Większa jest liczba 3360.
Zadanie 2. (3pkt)
x – uczniowie uprawiający trzy sporty
Hokej
48+x 35-x 55+x
x 15-x
Tenis 30-x 67+x
Piłka nożna
(48+x) +(35-x) + x + (30-x) + (55+x) + (15-x) + (67+x) = 257
x = 257 – (48+35+30+55+15+67)
x = 7
Wszystkie trzy sporty uprawia 7 uczniów.
Zadanie 3. (3pkt)
xy2 – y3 = 12
y2(x – y) = 12 D12={1,2,3,4,6,12} tylko dzielniki 1 i 4 są potęgami liczby
całkowitej, więc y2 = 4 lub y2 = 1
jeśli y2 = 4, to x – y = 3 , ponieważ 4 . 3 = 12
y2 = 4
y = 2, to x – 2 = 3
x = 5
y2 = 4
y = -2, to x – (-2) = 3
x = 1
jeśli y2 = 1, to x – y = 12 , ponieważ 1 . 12 = 12
y2 = 1
y = 1, to x – 1 = 12
x = 13
y2 = 1
y = -1, to x – (-1) = 12
x = 11
Rozwiązaniem są pary liczb:
(x,y) = (5,2), (x,y) = (1, -2), (x,y) = (13, 1), (x,y) = (11, -1)
Zadanie 4. (3pkt)
D C PABC = PABD, trójkąty te mają wspólną
podstawę oraz wysokości równe wysokości
O trapezu ABCD
Trójkąt ABO to część wspólna tych trójkątów.
A B
PAOD = PABD – PABO
PBOC = PABC – PABO
Stąd PAOD = PBOC co należało udowodnić.
Zadanie 5. (3pkt)
Oznaczmy: m, p, q – liczby pierwsze
35 + p = 14 + m = 18 + q
p – musi być ...
