Zaloguj się aby ocenić lub skomentować publikację.
1
Przykładowe zadania na kółko matematyczne dla uczniów
gimnazjum
Zagadnienia, które uczeń powinien znać przy rozwiązywaniu opisanych zadań:
zastosowanie równań w zadaniach tekstowych, funkcje i ich monotoniczność, podzielność liczb
całkowitych z resztą i bez reszty, pojęcie średniej arytmetycznej, zastosowanie wzoru na sumę
kolejnych liczb naturalnych
W zadaniach trudniejszych często korzystamy ze wzoru na sumę n kolejnych liczb
naturalnych. Warto przedstawiać uczniom różne uzasadnianie tego wzoru, pozwolić im
odkrywać piękno matematyki.
Oto wzór
Uzasadnienie wzoru
Metoda 1. (Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia)
Dowód:
Korzystając ze wzoru
i podstawiając za k kolejne liczby naturalne od 1 do N otrzymamy
dodając stronami otrzymamy
-------------------------------------------------------
.
Metoda 2.
Ustawiamy w ciąg 100 kolejnych liczb naturalnych od najmniejszej do największej i od
największej do najmniejszej, po czym dodajemy te liczby
suma 100 liczb
suma 100 liczb
____________
Podstawiając za 100 liczbę N otrzymamy wzór
.
Metoda 3.
pierwsza liczba trójkątna
2
druga liczba trójkątna
trzecia liczba trójkątna
n-ta liczba trójkątna
Metoda 4
Można wzór uzasadniać z zadań o liczbie boków i przekątnych w n+1- kacie wypukłym, lub z
zadań o liczbie powitań w zbiorze na przykład uczniów klasy.
Dowód
Dany jest wielokąt o n+1 bokach. Ponieważ liczba przekątnych w n- kacie liczymy ze wzoru
więc
.
Dodając do liczby boków liczbę przekątnych otrzymamy poszukiwany wzór.
.
Istotnie
Zadania
1. Podczas suszenia drzewa straciły 24% masy i 20% objętości. O ile procent zmniejszyła się ich
średnia gęstość?
Propozycja rozwiązania:
m-masa, V-objętość, d- gęstość
- początkowa gęstość
Średnia gęstość zmniejszyła się o 5%
2. Dane jest sześć liczb całkowitych. Każda z czterech pierwszych jest średnią arytmetyczną
dwóch następnych. Ostatnia liczba jest większa od przedostatniej o 48. O ile ostatnia liczba
jest większa od pierwszej?
Propozycja rozwiązania:
Z czwartego równania otrzymujemy , dzieląc
obustronnie przez 2 otrzymujemy (1)
Z trzeciego równania otrzymujemy , dzieląc
obustronnie przez 2 mamy (2)
Z drugiego równania otrzymujemy , dzieląc
obustronnie przez 2 mamy (3)
Z pierwszego równania otrzymujemy ,
dzieląc obustronnie przez 2 otrzymujemy (4) .
3
Z (4) otrzymujemy (5) i podstawiając do szóstego równania otrzymujemy
rozwiązanie .
Ostatnia liczba jest większa od pierwszej o 33.
3. Na kółku matematycznym bierze udział 12 uczniów, wśród których są przynajmniej dwie
dziewczynki. Na 8 marca chłopcy przynieśli w torebce 95 cukierków i rozdali dziewczynkom
po równo. W torebce zostały 4 cukierki. Ile chłopców bierze udział w tym kółku.
Propozycja rozwiązania:
Metoda 1.
95-4=91
91=7*13+0, czyli 7 dziewczynek dostało po 13 cukierków. Wszystkich uczniów było, 12 zatem
chłopców było dokładnie 5 ...
