Równania kwadratowe

RÓWNANIA KWADRATOWE

ZBIGNIEW STEBEL

Podstawy matematyki szkolnej

WAŁBRZYCH • 2012

Spis tre´sci
1 Wst˛ep

2 Równania stopnia drugiego

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Teoria i przykłady . .
2.2 Podstawowe wzory skróconego mno˙zenia . . . . .
. .
2.3 Wzory Viete’a i ich zastosowania w równaniach . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . .

3 Metody rozwi ˛azywania równa´n kwadratowych

3.1 Zapisywanie lewej strony równania kwadratowego w postaci

iloczynu wielomianów stopnia pierwszego . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Rozwi ˛azywanie równa´n z wykorzystaniem wzorów skróconego mno-
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .

3.3 Ró˙zne metody rozwi ˛azywania równa´n kwadratowych . .

. . . . .

˙zenia .

. . . .

. . .

.

.

.

.

.

.

2

2
2
4
5

7

7

9
11

1 WST ˛EP

2

1 Wst˛ep
W pracy niniejszej przedstawi˛e podstawowe metody rozwi ˛azywania równa´n kwadra-
towych w zbiorze liczb rzeczywistych R. Dlatego w zagadnieniu „ rozwi ˛a˙z równanie
postaci ” mamy na my´sli rozpatrywanie rozwi ˛aza´n tego równania w zbiorze R.
Je´sli w zadaniu zachodzi konieczno´s´c zaw˛e˙zenia zbioru rozwi ˛aza´n wówczas ozna-
czamy przez Z zbiór liczb całkowitych, przez Q zbiór liczb wymiernych i przez N
zbiór liczb naturalnych.
W opracowaniu niniejszym nie omawiam zagadnienia poj˛ecia funkcji kwadratowej, jej
wykresów i własno´sci.Pomijam oznaczenie definicji wyró˙znika trójmianu kwadrato-
wego za pomoc ˛a symbolu ∆1,chocia˙z pokazuj˛e rozwi ˛azania zada´n tego typu.Pomini˛ete
zostały całkowicie równania kwadratowe z warto´sci ˛a bezwzgl˛edn ˛a, w których wyko-
rzystujemy definicj˛e warto´sci bezwzgl˛ednej |x|2

2 Równania stopnia drugiego
2.1 Teoria i przykłady
Równanie stopnia drugiego zwane równaniem kwadratowym ma posta´c

a · x2 + b · x + c = 0

(1)

Współczynniki liczbowe a,b i c s ˛a rzeczywiste.
Je´sli współczymik a = 0 wtedy równanie jest równaniem liniowym postaci

(2)
Je´sli współczynnik a (cid:54)= 0 wówczas mo˙zemy szuka´c rozwi ˛aza´n równania kwadrato-
wego.

b · x + c = 0

7 · x − 5 = 0, nie jest równaniem kwadratowym gdy˙z współczynnik

Przykład 2.1. 3 · x2 + 2 · x + 1 = 0, jest równaniem,które nie ma rozwi ˛aza´n w R
Przykład 2.2. − 2
równania kwadratowego a = 0.
Przykład 2.3. x2 + 6 · x − 10 = 0, ma dokładnie dwa rozwi ˛azania rzeczywiste.
Przykład 2.4. Równanie postaci x2 + 1 = 0 nie ma w ogóle rozwi ˛aza´n w zbiorze R

Szczególne przypadki równania kwadratowego:

x2 = n

(3)

1 ∆ = b2 − 4 · a · c z równania kwadratowego postaci a · x2 + b · x + c = 0

2Warto´s´c bezwzgl˛edn ...