Równania stopnia trzeciego

Opracowanie przeznaczone dla uczniów uzdolnionych matematyczne.

1

Równania stopnia trzeciego z jedną niewiadomą

Opracowanie Zbigniew Stebel

(A) Podstawowe fakty

Równanie stopnia trzeciego postaci
(1)
może posiadać

A) jeden pierwiastek rzeczywisty oraz dwa ze sobą sprzężone pierwiastki zespolone,
B) jeden pierwiastek pojedyńczy oraz jeden podwójny,
C) trzy różne pierwiastki pojedyncze.

Równanie (1) możemy również zapisać w postaci
(2)
Ze wzorów (1) i (2) wynika, że

(3)

Przykład 1.
Wiedząc, że 1,2,3 są pierwiastkami równania kubicznego znaleźć to równanie

,
Zatem równanie przyjmuje postać

,

.

Podstawiając

do równania (1) otrzymujemy równanie równoważne postaci

023cbxaxx0))()((321xxxxxx321323121321)(xxxcxxxxxxbxxxa6)321(a11632b6c.0611623xxx3azx

2

(4)
Przykład 2.
Równanie postaci
Niech
Wtedy

przedstawić w postaci równoważnej

,stosując wzory skróconego mnożenia otrzymujemy

i po redukcji wyrazów

podobnych mamy równanie

.

Równanie (4) rozwiązujemy za pomocą wzorów Cardana-Tartaglii
Oznaczmy

(5)

.

Ad(A) Jeśli
sprzężone liczone ze wzorów

wówczas równanie ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty i dwa pierwiastki zespolone ze sobą

Ad(B) Jeśli

równanie ma jeden pierwiastek pojedynczy i jeden podwójny liczone ze wzorów

.03qpzz012923xxx3zx01)3(2)3(9)3(23zzz0162815492727916281549)3()3(3)3(322323223zzzzzzzzzzzz047253zz274323pq033333122qqziqqzz32222333312iqqzz3222233331303pqz312132zzz

3

Ad(C) Jeśli

równanie ma trzy pierwiastki rzeczywiste pojedyncze liczone ze wzorów

, gdzie

.

033cos321pz)1203cos(322pz)1203cos(323pz272cos3pq

4

(B) Przykłady rozwiązania równań bez stosowania wzorów Cardana-Tartaglii

1.
Jest to równanie postaci
Wszystkie dzielniki wyrazu wolnego to

.

Sprawdzając stwierdzamy, że dla

wielomian

jest podzielny przez dwumian

,gdyż

.

Dla

wielomian

przyjmuje wartość zero, czyli jest podzielny przez dwumian

.

.Ostatecznie równanie przyjmuje postać

,zatem mamy równanie równoważne

.

Zatem otrzymujemy trzy różne pierwiastki całkowite

które są rozwiązaniem tego równania.
Sprawdzenie:

2.

Sprawdzając stwierdzamy, że
drugiego

.Zatem równanie równoważne ma postać

.

.Dzieląc wielomian W(x) przez dwumian

otrzymujemy wielomian stopnia

06423xxx023cbxaxx1;2;3;66D1x64)(23xxxxW1x0)1(W65164223xxxxxx01652xxx2x65)(2xxxW2x32652xxxx.0321xxx321321xxx613624321313221321xxxbxxxxxxaxxx054423xxx5;15D0)5(W5x12xx0152xxx

5

Dzielniki wyrazu wolnego wielomianu
rozwiązywania równań kwadratowych.

nie zerują tego wielomianu, zatem skorzystamy z algorytmu

gdzie jest jednostką urojoną (

).

Ponieważ

więc równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych, tylko dwa ze sobą sprzężone pierwiastki zespolone.

Ostatecznie równanie spełniają dwa pierwiastki zespolone i jeden rzeczywisty

3.

zatem wielomian

jest podzielny przez dwumian

ze wzoru na kwadrat różnicy.

Zatem równanie równoważne przyjmuje postać

skąd rozwiązaniem równania są trzy różne pierwiastki

rzeczywiste

4.
Zauważmy, że ...