Odkrywanie i dowodzenie wzorów

Odkrywanie i dowodzenie wzorów

Zbigniew Stebel

Zagadnienie 1.
Poniżej kolejno pierwsza, druga, trzecia i czwarta liczba trójkątna:

Ile wynosi n- ta liczba trójkątna, gdzie

Rozwiązanie:
Oznaczmy przez

n – tą liczbę trójkątną.

Ponieważ czwarta liczba trójkątna jest sumą czterech kolejnych liczb naturalnych, więc n – ta liczba powinna być sumą n – kolejnych liczb
naturalnych.
Zatem

Ile wynosi suma n – kolejnych liczb naturalnych?
Ustawmy n kolejnych liczb naturalnych w ciąg rosnący i malejący i dodajmy je stronami:

104321632132111.NnnT.321nTn111________________1121nnnnnnW pierwszym i drugim wierszu mamy sumy n – kolejnych liczb naturalnych, zatem jest ich

Każda liczba dodana jest postaci n+1 i jest ich

dokładnie n, zatem

czyli suma n – kolejnych liczb naturalnych wynosi:

Ponieważ n – ta liczba trójkątna jest n- tą sumą kolejnych liczb naturalnych, więc

Zagadnienie 2.

Liczba trójkątna wyraża się wzorem

Dowieść indukcyjnie.

Dowód (indukcyjny)

(i)

Dla n=1 mamy

czyli pierwszą liczbę trójkątną, co jest słuszne.

(ii)

Załóżmy, że wzór jest prawdziwy dla danej k – tej liczby naturalnej, to znaczy

(iii) Uzasadnimy teraz słuszność tezy indukcyjnej postaci:

, dla k+1 – szej liczby naturalnej.

Korzystając z założenia indukcyjnego mamy:

Z zasady indukcji matematycznej wynika, że wzór na obliczanie n – tej liczby trójkątnej jest słuszny dla dowolnej liczby naturalnej.


Ćwiczenie 1.
Znaleźć

.2nS),1(2nnSn.2)1(nnSn.2)1(nnTn.,2)1(NnnnTn12)11(11T1,2)1(321kkkk2)2)(1()1(321kkkk.2)2)(1(2)1(22)1()1(2)1()1(321PkkkkkkkkkkL.,,,2008,1000200150100TTTTT



Zagadnienie 3.
Znaleźć wzór na sumę na sumę n- kolejnych liczb nieparzystych:
Rozwiązanie:

Zauważmy, że

Zatem
Zagadnienie 4.
Dowieść indukcyjnie, że

Dowód (indukcyjnie)

(i)

Sprawdźmy wzór dla najmniejszej liczby naturalnej

L=1,

Założenie indukcyjne: dla danej k – tej liczby naturalnej zachodzi wzór postaci:

(ii)
(iii) Korzystając z założenia indukcyjnego udowodnimy prawdziwość tezy indukcyjnej
dla k+1 – szej liczby naturalnej.

postaci:

Uzasadniliśmy prawdziwość tezy indukcyjnej na podstawie założenia indukcyjnego, zatem z zasady indukcji matematycznej wynika
słuszność wzoru dla każdej liczby naturalnej.

?)12(531n1675319531431116415131197531491311975313611975312597531.)12(211917151311975312nn.,)12(5312Nnnn.10n.,112PLP.1,)12(5312kkk,)1()12()12(5312kkk.)1(12)12(222PkkkkkL

Ćwiczenie 2.
Znaleźć sumę
Ćwiczenie 3.
Dowieść indukcyjne znaleziony w ćwiczeniu 3 wzór na sumę n liczb parzystych.
Zagadnienie 5.
Ile wynosi suma kwadratów kolejnych n- liczb naturalnych ?
Rozwiązanie:
Chcemy znaleźć sumę
Korzystając ze wzoru na sześcian sumy (przypomnij trójkąt Pascala) otrzymujemy:

Podstawiając w miejsce k kolejno liczby od 1 ...