Zaloguj się aby ocenić lub skomentować publikację.
Przykłady ciekawych nierówności
Zbigniew Stebel
Zadanie 1.
Uzasadnić, że dla nieujemnych 𝑥, 𝑦 zachodzi nierówność
(1)
𝑥+𝑦
2
≥ √𝑥𝑦.
Dowód:
Metoda 1.
Niech 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0. Mnożąc obustronnie przez 2 otrzymamy 𝑥 + 𝑦 ≥ 2√𝑥𝑦. Podnosząc
obustronnie do kwadratu mamy(𝑥 + 𝑦)2 = 4𝑥𝑦 → (𝑥 + 𝑦)2 − 4𝑥𝑦 ≥ 0. Stąd otrzymujemy
oczywistą nierówność (𝑥 − 𝑦)2 ≥ 0.
Metoda 2.
Z nierówności postaci
𝑥+𝑦
2
≥ √𝑥𝑦 wynika ciąg nierówności
𝑥 + 𝑦 ≥ 2√𝑥√𝑦 → 𝑥 − 2√𝑥√𝑦 + 𝑥 ≥ 0 → (√𝑥 − √𝑦)
2
≥ 0.
Zadanie 2.
Uzasadnić, że dla nieujemnych 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑚 zachodzi nierówność
(2)
𝑥+𝑦+𝑧+𝑚
4
4
≥ √𝑥𝑦𝑧𝑚
.
Dowód.
4
√𝑥𝑦𝑧𝑚
= √√𝑥𝑦√𝑧𝑚 ≤ √𝑥𝑦+√𝑧𝑚
2
𝑥+𝑦
2
+
𝑧+𝑚
2
2
=
≤
𝑥+𝑦+𝑧+𝑚
4
.
Zadanie 3.
Uzasadnić, że dla nieujemnych 𝑥, 𝑦, 𝑧 zachodzi nierówność
(3)
𝑥+𝑦+𝑧
3
3
≥ √𝑥𝑦𝑧
.
Dowód.
Podstawmy w nierówności (2) 𝑚 = √𝑥𝑦𝑧
3
. Wówczas z powyższej nierówności otrzymujemy
4
√𝑥𝑦𝑧𝑚
4
= √𝑥𝑦𝑧 √𝑥𝑦𝑧
3
≤
𝑥+𝑦+𝑧+ √𝑥𝑦𝑧
3
4
. Stąd 4√𝑥𝑦𝑧 √𝑥𝑦𝑧
3
4
≤ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + √𝑥𝑦𝑧
3
,
przekształcając otrzymujemy kolejno następujące nierówności
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≥ 4 (𝑥𝑦𝑧𝑥
1
4
1
3𝑦
1
3𝑧
1
3)
3
− √𝑥𝑦𝑧
→ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≥ 4√𝑥𝑦𝑧
3
3
− √𝑥𝑦𝑧
3
= 3 √𝑥𝑦𝑧
.Dzieląc
ostatnią nierówność obustronnie przez 3 otrzymujemy
𝑥+𝑦+𝑧
3
3
≥ √𝑥𝑦𝑧
.
Zadanie 4.
Uzasadnić, że dla dowolnych nieujemnych liczb 𝑎, 𝑏, 𝑐 zachodzi nierówność
(4) (𝑎 + 𝑏)(𝑏 + 𝑐)(𝑐 + 𝑎) ≥ 8𝑎𝑏𝑐
Dowód:
Z nierówności (1) mamy:
𝑎+𝑏
2
𝑏+𝑐
2
𝑐+𝑎
2
{
≥ √𝑎𝑏
≥ √𝑏𝑐
→ (𝑋) {
≥ √𝑐𝑎
𝑎 + 𝑏 ≥ 2√𝑎𝑏
𝑏 + 𝑐 ≥ 2√𝑏𝑐
𝑐 + 𝑎 ≥ 2√𝑐𝑎
. Podstawiając (X) do (4) otrzymujemy
(𝑎 + 𝑏)(𝑏 + 𝑐)(𝑐 + 𝑎) ≥ 8√𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐𝑎 = 8√𝑎2𝑏2𝑐2 = 8𝑎𝑏𝑐.
Zadanie 5.
Uzasadnić, że dla dodatnich liczb 𝑥, 𝑦, 𝑧 zachodzi nierówność
(5) (1 +
𝑥
𝑦
) (1 +
𝑦
𝑧
) (1 +
𝑧
𝑥
) ≥ 8
Dowód:
Z nierówności (X) otrzymujemy
1 +
1 +
{
1 +
𝑥
𝑦
𝑦
𝑧
𝑧
𝑥
≥ 2√
≥ 2√
≥ 2√
𝑥
𝑦
𝑦
𝑧
𝑧
𝑥
i podstawiając do (5) otrzymujemy
(1 +
𝑥
𝑦
) (1 +
𝑦
𝑧
) (1 +
𝑧
𝑥
) ≥ 8√
𝑥
𝑦
𝑧
𝑦
𝑧
𝑥
= 8√1 = 8.
Zadanie 6.
Uzasadnić, że dla dodatnich liczb 𝑎, 𝑏 zachodzi nierówność
(6)
(𝑎+1)2
𝑏
+
(𝑏+1)2
𝑎
≥ 8
Dowód:
Z nierówności (X) otrzymujemy:
(𝑎 + 1)2
𝑏
+
(𝑏 + 1)2
𝑎
≥
(2√𝑎)2
𝑏
+
(2 ...
