Zaloguj się aby ocenić lub skomentować publikację.
Elementarne dowody twierdzenie Pitagorasa
Zbigniew Stebel
Jeśli trójkąt o bokach a, b i c jest prostokątny to zachodzi równość
(1) 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2
A Oznaczmy |𝐵𝐶| = 𝑎, |𝐴𝐶| = 𝑐, |𝐴𝐵| = 𝑏
E
F O
B C
D
Niech 𝑂 oznacza środek okręgu wpisanego w trójkąt prostokatny, zaś r będzie promieniem
okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Dowód I(według idei Möllmanna)
W dowodzie skorzystamy z następujących wzorów pomocniczych:
(2) 𝑆𝐴𝐵𝐶 =
1
2
𝑎𝑏
(3) 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 𝑝𝑟 =
1
2
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)𝑟
(4) 𝑟 =
1
2
(𝑎 + 𝑏 − 𝑐)
Dowód wzoru (3)
Niech r będzie wysokością dla każdego z trzech trójkątów AOC, BOC i AOB. Wtedy
1
𝑐𝑟, 𝑆𝐴𝑂𝐵 =
𝑆𝐴𝑂𝐶 =
trójkąta ABC:
2
1
2
𝑏𝑟, 𝑆𝐵𝑂𝐶 =
1
2
𝑎𝑟. Dodając pola tych trójkątów otrzymujemy pole
𝑆𝐴𝐵𝐶 =
1
2
𝑐𝑟 +
1
2
𝑏𝑟 +
1
2
𝑎𝑟 =
1
2
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)𝑟.
Dowód wzoru (4)
Łatwo widać, że
a) |𝐶𝐷| = 𝑎 − 𝑟 = |𝐸𝐶|
b) |𝐴𝐹| = 𝑏 − 𝑟 = |𝐴𝐸|.
c) 𝑐 − |𝐴𝐸| = 𝑎 − 𝑟 → |𝐴𝐸| = 𝑐 − 𝑎 + 𝑟
Ponieważ |𝐴𝐹| = |𝐴𝐸| więc
𝑏 − 𝑟 = 𝑐 − 𝑎 + 𝑟 → 𝑏 − 𝑐 + 𝑎 = 2𝑟 →
𝑎+𝑏−𝑐
2
= 𝑟 co było do udowodnienia.
Ze wzorów (3) i (4) 𝑆𝐴𝐵𝐶 =
1
2
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) ∙
1
2
(𝑎 + 𝑏 − 𝑐) =
1
4
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(𝑎 + 𝑏 − 𝑐).
Mnożąc sumy algebraiczne otrzymujemy
1
(𝑎2 + 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐 + 𝑏𝑎 + 𝑏2 − 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 + 𝑐𝑏 − 𝑐2), po uproszczeniu otrzymujemy
𝑆𝐴𝐵𝐶 =
nowy wzór na pole trójkąta prostokątnego
4
(5) 𝑆𝐴𝐵𝐶 =
1
4
(𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐2 + 2𝑎𝑏)
Porównując wzory (2) i (5) otrzymujemy kolejno
1
2
𝑎𝑏 =
1
4
(𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐2 + 2𝑎𝑏). Mnożąc obustronnie ostatnie równanie przez 4 mamy
2𝑎𝑏 = 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐2 + 2𝑎𝑏 i stąd 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 co było do udowodnienia.
Dowód II (według idei Jamesa Abrama Garfielda)
D a E Oznaczenia: |𝐵𝐶| = 𝑎, |𝐴𝐶| = 𝑏, |𝐴𝐵| = 𝑐
b
B
a c
C b A
Trójkąty ABC oraz EDB są przystające.
Niech ∠𝐶𝐴𝐵 = 𝜃 → ∠𝐴𝐵𝐶 = 90° − 𝜃.
Ponieważ ∠𝐶𝐵𝐷 = 180°, ∠𝐷𝐵𝐸 = 𝜃 → ∠𝐸𝐵𝐴 = 90°.
Obliczając pole trapezu ACDE na dwa sposoby otrzymujemy
(6) 𝑆𝐴𝐶𝐷𝐸 =
𝑎+𝑏
2
∙ (𝑎 + 𝑏) =
(7) 𝑆𝐴𝐶𝐷𝐸 = 2 ∙
𝑎𝑏
2
+
𝑐2
2
= 𝑎𝑏 +
(𝑎+𝑏)2
2
𝑐2
2
.
Porównując wzory (6) i (7) otrzymujemy kolejno:
(𝑎+𝑏)2
2
= 𝑎𝑏 +
𝑐2
2
→ (𝑎 + 𝑏)2 = 2𝑎𝑏 + 𝑐2 po obustronnym wymnożeniu przez 2.
W ostatnim równaniu korzystając ze wzoru na kwadrat sumy otrzymujemy
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = 2𝑎𝑏 + 𝑐2. Stąd 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 co było do ...
