Elementy rachunku prawdopodobieństwa

Podstawy rachunku prawdopodobieństwa dla kółek matematycznych w gimnazjum.

1

Opracowanie: Zbigniew Stebel

Elementy rachunku prawdopodobieństwa

Definicja 1.
Niepustą rodzinę podzbiorów zbioru
A)

A. Podstawowe pojęcia

,która spełnia warunki

nazywamy

ciałem.

Sprawdź, czy następujące rodziny podzbiorów

:

-ciała. Jeśli nie tworzą to uzupełnij te rodziny w sposób minimalny, aby otrzymać

-ciała.

,zatem do rodziny

należy dodać zbiór

,zatem do rodziny

należy dodać

B) jeśli

Przykład:
Niech

1.

2.
tworzą
Ad(1)

Ad(2)

AAnnnnAA,,2,1,.5,4,3,2,1,3,,015,4,3,3,2,1,,025,4,2,1,3,,01AA5,4,2,1,3,,0,11AAAA1.5,4,2,12,1,5,4,3,5,4,3,2,1,,02AA2,1,5,4,3,5,4,3,2,1,,0,2AAAA2.2,1,5,4

Definicja 2.
Funkcję rzeczywistą
(P1)

2

określoną na podzbiorach przestrzeni zdarzeń elementarnych

tworzących

ciało

o własnościach

(P2) jeśli

to

(P3)
nazywamy prawdopodobieństwem.
Trójkę

nazywamy przestrzenią probabilistyczną, zaś warunki (P1),(P2),(P3) aksjomatami prawdopodobieństwa.

0AP,,0jiAAji,11nnnnAPAP1PP,,

3

B. Własności prawdopodobieństwa.

1. Monotoniczność
(1) Jeśli

Dowód:
Załóżmy, że
Wtedy

przy czym

Zatem z aksjomatu (P2) otrzymujemy

Na podstawie aksjomatu (P1) otrzymujemy
2.
(2)
Dowód:
Zauważmy, że
(x)

wtedy otrzymamy

Przyjmijmy w tej nierówności

3.
(3)
Dowód:
Nierówność (4) jest szczególnym przypadkiem nierówności (3). Podstawmy w (x)

czyli otrzymaliśmy nierówność

.Z aksjomatu (P3) otrzymujemy

, otrzymujemy

stąd na mocy

aksjomatu (P3) mamy

4.
(4)
Dowód:
Dla dowolnych zdarzeń

mamy

,gdzie

. Na mocy aksjomatu (P2) otrzymujemy

Na podstawie (x) otrzymujemy

ponieważ

.

BPAPBA.BA,\ABAB.0\ABA.\ABPAPBP,00\APBPAPBPABP.BPAP.1APAP.0)\(APBPABP,B0)(\APPAPAP.1APAP.1APB,0APP.101APAP.BAPBPAPBAPBA,BABABA\0\BABA.\BABPAPBAP,BAPBPAPBAPBBA

4

5. Nierówność Boole’a.

(5)

Dowód (indukcyjnie)
Dla n=2 nierówność wynika bezpośrednio z (4), oraz z faktu że
Załóżmy prawdziwość (5) dla pewnego
Uzasadnimy prawdziwość nierówności dla

.

.

dowolnie ustalonego, gdzie

-szej liczby naturalnej (teza indukcyjna)

gdyż

Udowodniliśmy prawdziwość nierówności dla
Zatem zasada indukcji matematycznej kończy dowód tej nierówności.

-szej liczby naturalnej w oparciu o założenie indukcyjne i własności (4).

.11niiniiAPAP0BAP2nNn1n,111111111111niininniininniinniiniiAAAPAPAPAAPAPAPAP.011nniiAAP1n

5

C. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń

Rozważmy przestrzeń probabilistyczną
Definicja 3.

(6)

, gdzie

oraz

mamy

Wyrażenie dane równaniem (6) nazywamy prawdopodobieństwem A pod warunkiem B. Z równania (6) wynika wzór na prawdopodobieństwo
iloczynu zdarzeń A i B:
(7)
Uogólnienie wzoru (7) dla dowolnych n zdarzeń.
Niech

. Wtedy zachodzi wzór:

(8)

Pojęcie rozbicia

Załóżmy, że

Mówimy wtedy, że ciąg zdarzeń

tworzy rozbicie, czyli układ zupełny

przestrzeni
Ćwiczenie 1
Podaj i uzasadnij wzór na prawdopodobieństwo całkowite
Jeśli ciąg zdarzeń

tworzy rozbicie przestrzeni

, to dla dowolnego zdarzenia

zachodzi wzór

(9)

Dowód:
Dla dowolnego zdarzenia

mnożenia względem dodawania zdarzeń, czwarta równość z aksjomatu (P2), piąta z relacji (7).

Trzecia równość wynika z prawa rozdzielności

BPBB/,,,0,BPBABAB,.,|ABPBAPBAP.0,\BPBPBAPBAP0121nAAAP.\\\112211111APAAPAAAPAAAPAAPnnnnn.,0,0,1jiBBBPBjiinii},,2,1,{niBi.niBi,,2,1,A.\1niiiBPBAPAP:A.\1111niniiiiniiniiBPBAPBAPBAPBAPAPAP

6

Z pojęciem warunkowego prawdopodobieństwa wiąże się wzór Bayesa.
Ćwiczenie 2.
Podaj i uzasadnij wzór Bayesa ( wzór na prawdopodobieństwo przyczyny)
Dla dowolnego zdarzenia

zachodzi wzór

dla którego

(10)

gdzie

Dowód:
Na mocy relacji (6) i (7) oraz (9) otrzymujemy

Definicja 4.
Dwa …