Matematyka w Liceum - Metoda "OSI"

METODA „OSI”

Rozwiązywanie nierówności trygonometrycznych, w których pojawia się kilka
różnych funkcji może przysporzyć nam nieraz wiele trudności.
Znajomość różnych metod rozwiązywania tego typu problemów jest
na pewno bardzo przydatna.

Poniżej zajmiemy się pewnym typem nierówności,
rozwiązując je różnymi metodami.

? [pic]

[pic] [pic] [pic]
I metoda (metoda klasyczna, uniwersalna)

- rozpatrywanie różnych przypadków znaku licznika
i mianownika prawej strony nierówności

[pic][pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]
⇓ ⇓ ⇓ ⇓

[pic] [pic] [pic] [pic]

Po uwzględnieniu założeń
(w tym przy przypadku nie mają znaczenia)
mamy odpowiedź:

[pic]

II metoda - podstawienie do nierówności pomocniczej zmiennej

Niech [pic], gdzie [pic]

Po podstawieniu do nierówności ?, otrzymujemy: [pic]

Rysując oś liczbową dla t
oraz wykres znaku wyrażenia
z lewej strony nierówności

otrzymujemy rozwiązanie: [pic]

wracając do podstawienia [pic]

i analogicznie kończymy rozwiązanie jak w metodzie I.

III metoda „OSI”

Zaznaczamy na osi liczbowej X wszystkie miejsca zerowe
licznika i mianownika naszej nierówności ? i narysujmy
wykres znaku wyrażenia stojącego z lewej strony nierówności
(zauważmy, że np. dla [pic] wartość wyrażenia jest ujemna).

Łatwo można odczytać rozwiązanie w przedziale [pic],
a także wysnuć wniosek co do całego rozwiązania w R

[pic]

Analizując powyższe metody można polemizować, która z nich jest lepsza, łatwiejsza, wygodniejsza dla uczniów i bardziej
dla nich zrozumiała. Nie wyciągajmy jednak wniosków dopóki
nie rozwiążemy kilku innych nierówności podobnego typu.

Zadajmy sobie pytanie: co się stanie gdy w naszej nierówności

[pic] zamiast:

a) [pic] pojawi się 1? Czyli [pic]

b) [pic] pojawi się [pic]? Czyli [pic]

c) [pic] pojawi się [pic]? Czyli [pic]

ad. a)

Wszystkie trzy omawiane powyżej
metody mają zastosowanie
Jednakże w metodzie III
– metodzie „OSI” pojawia się problem
miejsca zerowego wyrażenia [pic].
Otóż wyrażenie to nie zmienia znaku „przechodząc” przez swoje miejsce zerowe.
Dlatego też w metodzie „OSI” należy wykres znaku odbić.

Następnie odczytując rozwiązanie mamy:

[pic]

ad. b)
[pic]

W rozwiązywaniu tej nierówności można zauważyć,
że metoda II – metoda podstawienia pomocniczej zmiennej
praktycznie nie funkcjonuje.
Pozostaje metoda klasyczna oraz metoda „OSI”.
Wybierzmy tą drugą:

Odp:
[pic]

Do tej pory mieliśmy do czynienia z wyrażeniami,
w których występowały funkcje sinx oraz cosx ,
które są określone w R. W następnej nierówności pojawia się
funkcja tgx, która nie jest określona w całym zbiorze
liczb rzeczywistych.

ad. c)
[pic]

Oczywiście, można [pic] zamienić na [pic] i powrócić tym samym do nierówności
typu b), ale taka zamiana funkcji [pic] w niektórych przypadkach
(gdy funkcja [pic] nie stanowi sama w sobie jednego z czynników nierówności)
może skomplikować naszą nierówność. Pozostańmy ...